FANDOM


Medal

3kielony2

Kieliszki o budowie quasi-stożka

Teoria stożka – matematyczny dowód na to, dlaczego tzw. „połówka” (kieliszka) połówką nie jest.

Wstęp i założenia teoretyczne

Teoria stożka, zwana również alkoholową teorią stożka, jest pierwszym matematycznym dowodem na to, że tzw. połówka (słowo często używane w zwrocie: Nalej mi połówkę) niekoniecznie połówką być musi. Zjawisko picia „połówek” występuje głównie u kobiet, rzadziej u mężczyzn – dzięki teorii stożka pełny po brzegi kieliszek też jest połówką. Wynika to z budowy owego naczynia które jest często paraboloidą obrotową – czyli w połowie wysokości tejże przestrzennej figury jest mniej niż połowa objętości, jaką można w tej figurze umieścić.

Pomiar szkliwa (kieliszka)

Wykres2d22

Rys. 1 – tworząca stożka w układzie 2d

Do zobrazowania dowodu, który został przedstawiony poniżej, został przeprowadzony pomiar cech parametrycznych (wymiarów) kieliszka (quasi-stożka) o równoległych do siebie płaszczyznach dolnej (dna) i górnej. W teorii posługujemy się ściętym stożkiem, a nie paraboloidą obrotową, aby ułatwić zrozumienie zagadnienia – wyniki dla obu tych figur przestrzennych są niemal jednakowe. (Tworząc matematyczny obraz kieliszka jako stożka unikamy wprowadzania bardziej skomplikowanych wzorów).

  • Wysokość: $ H=(5,5\pm0,1) cm $
  • Promień podstawy dolnej: $ r=(0,8\pm0,1) cm $
  • Promień podstawy górnej: $ R=(1,9\pm0,1) cm $

Do dalszych obliczeń błąd miernika (w tym wypadku linijki) nie będzie uwzględniany, gdyż zarówno ten błąd jak i odchyłka od wartości średniej pomiaru jest stosunkowo bardzo mała od spodziewanych wyników i nie wpływa na ostateczny wynik.

Zmierzone wartości przenosimy na dwuwymiarowy układ współrzędnych. Ważne jest, aby rysunek był zrobiony czytelnie i możliwie jak najdokładniej (Rys. 1). Otrzymując równanie tworzącej stożka $ y=5x-4 $. Jako, że współczynnik $ a $ jest wartością funkcji tangens kąta między osią $ x $, a tworzącą, otrzymujemy kąt nachylenia tworzącej 78 stopni.

Do dowodu przyjmujemy wysokość 9,5 cm gdzie:

  • $ <0cm, 4cm) $ – nierzeczywiste przedłużenie stożka tzw. nóżka
  • $ <4cm, 9,5cm> $ – stożek właściwy (mierzalny), tzw. komora wódkowa lub komora szczęścia

Dowód założeń teoretycznych

Stozek3d2

Rys. 2 – quasi-stożek; granice całkowania

Granice3d2

Rys. 3 – granice całkowania

Granice2a3d2

Rys. 4 – granice całkowania

W dowodzie właściwym udowodnimy – groteskowo stwierdzając – że „połówka” występuje w każdym miejscu. gdzie osoba rozlewająca zachce tę „połówkę” mieć. A ściślej rzecz biorąc, formułujemy tezę: Połowa kieliszka mieści się miedzy jego połową wysokości a całą wysokością.

Obliczamy objętość kieliszka (uwzględniając pomiary wyżej zebrane). Objętość $ V $ równa się całce potrójnej z jedności po obszarze $ D $. Obszar $ D $ dzielimy na dwa: $ A $ oraz $ B $. Obszar $ A $ składa się z obszarów $ D2,D4,D5 $ (Rys. 3) a $ B $ z $ D1,D3 $. Układ kartezjański zamieniamy na cylindryczny.

Zamiana na zmienne walcowe po obszarze $ B $:

$ 0\leq\varphi\leq 2\pi $

$ 0,8\leq\rho\leq 1,9 $

$ 5\rho\leq\varphi\leq 9,5 $

Rozwiązanie całki:

$ V1=\iiint\limits_D 1 \;dx \;dy \;dz=\int\limits^{2\pi}_0 d\varphi \int\limits^{1.9}_{0.8}d\rho \int\limits^{9.5}_{5\rho} \rho dh $

$ \int\limits^{2\pi}_0 d\varphi \int\limits^{1.9}_{0.8} [\varphi h]_{5\rho}^{9.5} d\rho = \int\limits^{2\pi}_0 d\varphi \int\limits^{1.9}_{0.8} ({9.5\rho}-{5\rho^2}) d\rho= $

$ = 2\pi[({{9.5*1.9^2} \over 2}-{{5*1.9^3} \over 3})-({{9.5*0.8^2} \over 2}-{{5*0.8^3} \over 3})]=22.2 $

Zamiana na zmienne walcowe po obszarze $ A $:

$ 0\leq\varphi\leq 2\pi $

$ 0\leq\rho\leq 0,8 $

$ 4\leq\varphi\leq 9,5 $

Rozwiązanie całki:

$ V2=\int\limits^{2\pi}_0 d\varphi \int\limits^{0.8}_{0}d\rho \int\limits^{9.5}_{4} \rho dh $

$ \int\limits^{2\pi}_0 d\varphi \int\limits^{0.8}_{0} [\varphi h]_{4}^{9.5} d\rho = \int\limits^{2\pi}_0 d\varphi \int\limits^{0.8}_{0} ({9.5\rho}-{4\rho}) d\rho = 2\pi[{{5.5\rho^2} \over 2}]_0^{0.8}=11.1 $

Sumaryczna objętość $ V $ mierzonego quasi-stożka (kieliszka) wynosi:

$ V=V1+V2=22.2+11.1=33.3ml $

Połowa wysokości kieliszka $ h $ znajduje się na wysokości $ 6.75 cm $. W sposób analogiczny do przedstawionego powyżej obliczamy objętość połówki dolnej (po obszarach $ D1;D2 $) oraz połówki górnej ($ D3;D4;D5 $) otrzymując:

  • Objętość połówki dolnej: $ Vd = 10.1 ml $
  • Objętość połówki górnej: $ Vg = 23.2 ml $
  • $ Vd<Vg $

Pierwszy wniosek: Połówki nie są sobie równe, oraz wniosek drugi – kluczowy – połowa objętości jest zawarta na przedziale względem wysokości od jej połowy do całej wysokości $ H $. Uwzględniając brak przyrządów pomiarowych (mierników) oraz błąd paralaksy ludzkiego oka udowodniliśmy tezę, iż nasza „połówka” jest zawarta na przedziale <$ 1/2H,H $> w naszym konkretnym badanym przypadku $ <6.75cm, 9,5cm> $.

Uwagi

Dysponując aparatem matematycznym, a konkretnie rachunkiem całkowym, udowodniliśmy słuszność i prawdziwość tezy. Przedstawiona teoria dla samej matematyki i nauk pokrewnych nie jest ważna i istotna, lecz ma duże znaczenie społeczne. Bardzo dobrze sprawdza się tam, gdzie w określonej przestrzeni i w określonym czasie znajduje się wiele osób w celu zamierzonej konsumpcji. Należy brać pod uwagę, że teoria jest prawdziwa dla kieliszków w kształcie paraboloidy obrotowej lub stożka (kieliszki o tworzącej nachylonej pod kątem 0-30 stopni względem osi symetrii najlepiej nadają się do spożywania płynów). Dla kieliszków typowo cylindrycznych traci sens.