Teoria stożka

Z Nonsensopedii, polskiej encyklopedii humoru

Skocz do: nawigacji, szukaj

Medal.png

3kielony2.jpg

Kieliszki o budowie quasi-stożka

Teoria stożka – matematyczny dowód na to, dlaczego tzw. „połówka” (kieliszka) połówką nie jest.

[edytuj] Wstęp i założenia teoretyczne

Teoria stożka, zwana również alkoholową teorią stożka, jest pierwszym matematycznym dowodem na to, że tzw. połówka (słowo często używane w zwrocie: Nalej mi połówkę) niekoniecznie połówką być musi. Zjawisko picia „połówek” występuje głównie u kobiet, rzadziej u mężczyzn – dzięki teorii stożka pełny po brzegi kieliszek też jest połówką. Wynika to z budowy owego naczynia które jest często paraboloidą obrotową – czyli w połowie wysokości tejże przestrzennej figury jest mniej niż połowa objętości, jaką można w tej figurze umieścić.

[edytuj] Pomiar szkliwa (kieliszka)

Wykres2d22.jpg

Rys. 1 – tworząca stożka w układzie 2d

Do zobrazowania dowodu, który został przedstawiony poniżej, został przeprowadzony pomiar cech parametrycznych (wymiarów) kieliszka (quasi-stożka) o równoległych do siebie płaszczyznach dolnej (dna) i górnej. W teorii posługujemy się ściętym stożkiem, a nie paraboloidą obrotową, aby ułatwić zrozumienie zagadnienia – wyniki dla obu tych figur przestrzennych są niemal jednakowe. (Tworząc matematyczny obraz kieliszka jako stożka unikamy wprowadzania bardziej skomplikowanych wzorów).

  • Wysokość: H=(5,5\pm0,1) cm
  • Promień podstawy dolnej: r=(0,8\pm0,1) cm
  • Promień podstawy górnej: R=(1,9\pm0,1) cm

Do dalszych obliczeń błąd miernika (w tym wypadku linijki) nie będzie uwzględniany, gdyż zarówno ten błąd jak i odchyłka od wartości średniej pomiaru jest stosunkowo bardzo mała od spodziewanych wyników i nie wpływa na ostateczny wynik.

Zmierzone wartości przenosimy na dwuwymiarowy układ współrzędnych. Ważne jest, aby rysunek był zrobiony czytelnie i możliwie jak najdokładniej (Rys. 1). Otrzymując równanie tworzącej stożka y=5x-4. Jako, że współczynnik a jest wartością funkcji tangens kąta między osią x, a tworzącą, otrzymujemy kąt nachylenia tworzącej 78 stopni.

Do dowodu przyjmujemy wysokość 9,5 cm gdzie:

  • <0cm, 4cm) – nierzeczywiste przedłużenie stożka tzw. nóżka
  • <4cm, 9,5cm> – stożek właściwy (mierzalny), tzw. komora wódkowa lub komora szczęścia

[edytuj] Dowód założeń teoretycznych

Stozek3d2.jpg

Rys. 2 – quasi-stożek; granice całkowania

Granice3d2.jpg

Rys. 3 – granice całkowania

Granice2a3d2.jpg

Rys. 4 – granice całkowania

W dowodzie właściwym udowodnimy – groteskowo stwierdzając – że „połówka” występuje w każdym miejscu. gdzie osoba rozlewająca zachce tę „połówkę” mieć. A ściślej rzecz biorąc, formułujemy tezę: Połowa kieliszka mieści się miedzy jego połową wysokości a całą wysokością.

Obliczamy objętość kieliszka (uwzględniając pomiary wyżej zebrane). Objętość V równa się całce potrójnej z jedności po obszarze D. Obszar D dzielimy na dwa: A oraz B. Obszar A składa się z obszarów D2,D4,D5 (Rys. 3) a B z D1,D3. Układ kartezjański zamieniamy na cylindryczny.

Zamiana na zmienne walcowe po obszarze B:

0\leq\varphi\leq 2\pi

0,8\leq\rho\leq 1,9

5\rho\leq\varphi\leq 9,5

Rozwiązanie całki:

V1=\iiint\limits_D 1 \;dx \;dy \;dz=\int\limits^{2\pi}_0 d\varphi \int\limits^{1.9}_{0.8}d\rho \int\limits^{9.5}_{5\rho} \rho dh

\int\limits^{2\pi}_0 d\varphi \int\limits^{1.9}_{0.8} [\varphi h]_{5\rho}^{9.5} d\rho = \int\limits^{2\pi}_0 d\varphi \int\limits^{1.9}_{0.8} ({9.5\rho}-{5\rho^2}) d\rho=

= 2\pi[({{9.5*1.9^2} \over 2}-{{5*1.9^3} \over 3})-({{9.5*0.8^2} \over 2}-{{5*0.8^3} \over 3})]=22.2

Zamiana na zmienne walcowe po obszarze A:

0\leq\varphi\leq 2\pi

0\leq\rho\leq 0,8

4\leq\varphi\leq 9,5

Rozwiązanie całki:

V2=\int\limits^{2\pi}_0 d\varphi \int\limits^{0.8}_{0}d\rho \int\limits^{9.5}_{4} \rho dh

\int\limits^{2\pi}_0 d\varphi \int\limits^{0.8}_{0} [\varphi h]_{4}^{9.5} d\rho = \int\limits^{2\pi}_0 d\varphi \int\limits^{0.8}_{0} ({9.5\rho}-{4\rho}) d\rho = 2\pi[{{5.5\rho^2} \over 2}]_0^{0.8}=11.1

Sumaryczna objętość V mierzonego quasi-stożka (kieliszka) wynosi:

V=V1+V2=22.2+11.1=33.3ml

Połowa wysokości kieliszka h znajduje się na wysokości 6.75 cm. W sposób analogiczny do przedstawionego powyżej obliczamy objętość połówki dolnej (po obszarach D1;D2) oraz połówki górnej (D3;D4;D5) otrzymując:

  • Objętość połówki dolnej: Vd = 10.1 ml
  • Objętość połówki górnej: Vg = 23.2 ml
  • Vd<Vg

Pierwszy wniosek: Połówki nie są sobie równe, oraz wniosek drugi – kluczowy – połowa objętości jest zawarta na przedziale względem wysokości od jej połowy do całej wysokości H. Uwzględniając brak przyrządów pomiarowych (mierników) oraz błąd paralaksy ludzkiego oka udowodniliśmy tezę, iż nasza „połówka” jest zawarta na przedziale <1/2H,H> w naszym konkretnym badanym przypadku <6.75cm, 9,5cm>.

[edytuj] Uwagi

Dysponując aparatem matematycznym, a konkretnie rachunkiem całkowym, udowodniliśmy słuszność i prawdziwość tezy. Przedstawiona teoria dla samej matematyki i nauk pokrewnych nie jest ważna i istotna, lecz ma duże znaczenie społeczne. Bardzo dobrze sprawdza się tam, gdzie w określonej przestrzeni i w określonym czasie znajduje się wiele osób w celu zamierzonej konsumpcji. Należy brać pod uwagę, że teoria jest prawdziwa dla kieliszków w kształcie paraboloidy obrotowej lub stożka (kieliszki o tworzącej nachylonej pod kątem 0-30 stopni względem osi symetrii najlepiej nadają się do spożywania płynów). Dla kieliszków typowo cylindrycznych traci sens.

Nasze strony
Przyjaciele